Sangat menantang untuk menyetujui harga akurat dari setiap aset yang diperdagangkan, bahkan saat ini. Itu sebabnya harga saham terus berubah. Kenyataannya, perusahaan tersebut hampir tidak mengubah valuasinya setiap hari, namun harga saham dan valuasinya berubah setiap detik. Hal ini menunjukkan sulitnya mencapai konsensus mengenai harga sekarang untuk aset yang diperdagangkan, yang menyebabkan peluang arbitrase. Namun, peluang arbitrase ini sangat singkat.

Semuanya bermuara pada penilaian hari ini - berapa harga saat ini yang tepat untuk perkiraan waktu yang diharapkan di masa depan?

Di pasar yang kompetitif, untuk menghindari peluang arbitrase, aset dengan struktur pembayaran identik harus memiliki harga yang sama. Penilaian pilihan telah menjadi tugas yang menantang dan variasi harga yang tinggi diamati yang mengarah pada peluang arbitrase. Black-Scholes tetap menjadi salah satu model terpopuler yang digunakan untuk opsi harga, namun memiliki keterbatasan sendiri. (Untuk informasi lebih lanjut, lihat: Options Pricing ). Model penetapan harga opsi binomial adalah metode populer lainnya yang digunakan untuk opsi harga. Artikel ini membahas beberapa contoh langkah-demi-langkah komprehensif dan menjelaskan konsep netralitas yang mendasari penerapan model ini. (Untuk pembacaan yang terkait, lihat: Breaking Down Model Binomial Untuk Menilai Opsi ).

Artikel ini mengasumsikan keakraban pengguna dengan opsi dan konsep dan persyaratan terkait.

Asumsikan ada opsi panggilan pada saham tertentu yang harga pasar saat ini adalah $ 100. Opsi ATM memiliki strike price sebesar $ 100 dengan waktu sampai kadaluwarsa satu tahun. Ada dua pedagang, Peter dan Paul, yang keduanya sepakat bahwa harga saham akan naik menjadi $ 110 atau turun menjadi $ 90 dalam waktu satu tahun. Mereka sepakat pada tingkat harga yang diharapkan dalam jangka waktu tertentu dalam satu tahun, namun tidak setuju mengenai kemungkinan pergerakan naik (dan pergerakan turun). Peter percaya bahwa probabilitas harga saham akan mencapai $ 110 adalah 60%, sementara Paul yakin itu adalah 40%.

Berdasarkan hal diatas, siapa yang mau membayar harga lebih untuk call option?

Mungkin Peter, karena dia mengharapkan probabilitas tinggi untuk bergerak.

Mari kita lihat perhitungan untuk memverifikasi dan memahami ini. Dua aset di mana valuasi tersebut bergantung pada opsi call dan underlying stock. Ada kesepakatan di antara peserta bahwa harga saham yang mendasarinya bisa bergerak dari $ 100 saat ini menjadi $ 110 atau $ 90 dalam waktu satu tahun, dan tidak ada pergerakan harga lainnya yang mungkin terjadi.

Di dunia bebas arbitrase, jika kita harus membuat portofolio yang terdiri dari dua aset ini (opsi panggilan dan underlying stock), terlepas dari mana harga yang mendasarinya berjalan ($ 110 atau $ 90), laba bersih atas portofolio selalu tetap sama.Misalkan kita membeli 'd' saham opsi call yang mendasari dan singkat untuk membuat portofolio ini.

Jika harganya mencapai $ 110, saham kami akan bernilai $ 110 * d dan kami akan kehilangan $ 10 pada hasil pembayaran singkat. Nilai bersih portofolio kami adalah (110d - 10).

Jika harganya turun menjadi $ 90, saham kita akan bernilai $ 90 * d, dan opsi akan kadaluarsa tidak berharga. Nilai bersih portofolio kami adalah (90d).

Jika kita menginginkan nilai portofolio kita tetap sama, terlepas dari berapa pun harga dasarnya, maka nilai portofolio kita harus tetap sama dalam kedua kasus tersebut, i. e. :

=> (110d - 10) = 90d

=> d = ½

i. e. Jika kita membeli setengah saham (dengan asumsi pembelian fraksional mungkin terjadi), kita akan berhasil menciptakan portofolio sehingga nilainya tetap sama di kedua negara yang mungkin dalam jangka waktu yang ditentukan dalam satu tahun. (poin 1)

Nilai portofolio ini, ditunjukkan oleh (90d) atau (110d -10) = 45, adalah satu tahun di bawah garis. Untuk menghitung nilai sekarang, dapat didiskontokan dengan tingkat pengembalian bebas risiko (dengan asumsi 5%).

=> 90d * exp (-5% * 1 tahun) = 45 * 0. 9523 = 42. 85 => Nilai portofolio sekarang

Karena pada saat ini, portofolio terdiri dari ½ bagian dari underlying stock ( dengan harga pasar $ 100) dan 1 panggilan singkat, seharusnya sama dengan nilai sekarang yang dihitung di atas i. e.

=> 1/2 * 100 - 1 * harga panggilan = 42. 85

=> Harga panggilan = $ 7. 14 i. e. harga panggilan hari ini.

Karena ini didasarkan pada asumsi di atas bahwa nilai portofolio tetap sama terlepas dari mana harga yang mendasari berjalan (poin 1 di atas), kemungkinan pergerakan naik atau turun tidak memainkan peran apa pun di sini. Portofolio tetap bebas risiko, terlepas dari pergerakan harga yang mendasarinya.

Dalam kedua kasus tersebut (diasumsikan bergerak hingga $ 110 dan turun bergerak ke $ 90), portofolio kami netral terhadap risiko dan menghasilkan tingkat pengembalian bebas risiko.

Oleh karena itu, baik pedagang, Peter dan Paul, akan bersedia membayar $ 7 yang sama. 14 untuk opsi panggilan ini, terlepas dari perbedaan persepsi mereka tentang probabilitas pergerakan naik (60% dan 40%). Probabilitas individual mereka masing-masing tidak berperan dalam penilaian opsi, seperti yang terlihat dari contoh di atas.

Jika anggap bahwa probabilitas individu penting, maka akan ada peluang arbitrase. Di dunia nyata, peluang arbitrase semacam itu ada dengan perbedaan harga yang kecil dan lenyap dalam jangka pendek.

Tapi, di manakah banyak volatilitas yang ada dalam semua perhitungan ini, yang merupakan faktor penting (dan paling sensitif) yang mempengaruhi penetapan harga opsi?

Volatilitas sudah termasuk dalam sifat definisi masalah. Ingatlah bahwa kita mengasumsikan dua (dan hanya dua - dan karenanya nama "binomial") menyatakan tingkat harga ($ 110 dan $ 90). Volatilitas tersirat dalam asumsi ini dan karenanya secara otomatis disertakan - 10% either way (dalam contoh ini).

Sekarang mari kita lakukan pemeriksaan kewarasan untuk melihat apakah pendekatan kita benar dan koheren dengan harga Black-Scholes yang umum digunakan. (Lihat: Model Penilaian Pilihan Black-Scholes ).

Berikut adalah screenshot hasil kalkulator pilihan (courtesy of OIC), yang sangat sesuai dengan nilai yang kami hitung.

Sayangnya, dunia nyata tidak sesederhana "hanya dua negara bagian". Ada beberapa tingkat harga yang bisa di capai oleh saham sampai saat kadaluwarsa.

Mungkinkah memasukkan semua level ganda ini dalam model penetapan harga binomial kita yang dibatasi hanya pada dua tingkat? Ya, itu sangat mungkin, dan untuk memahaminya, mari kita masuk ke dalam beberapa matematika sederhana.

Beberapa langkah penghitungan menengah dilewati agar tetap diringkas dan difokuskan pada hasil.

Untuk melanjutkan, mari kita generalisasikan masalah dan solusinya:

'X' adalah harga pasar saat ini dan 'X * u' dan 'X * d' adalah harga masa depan untuk pergerakan naik dan turun 't ' bertahun-tahun kemudian. Faktor 'u' akan lebih besar dari 1 karena mengindikasikan pergerakan dan 'akan' terletak antara 0 dan 1. Untuk contoh di atas, u = 1. 1 dan d = 0. 9.

Tagihan opsi panggilan adalah 'P _sampai ' dan 'P _dn ' untuk pergerakan naik dan turun, pada saat kadaluwarsa.

Jika kita membangun portofolio saham yang dibeli hari ini dan satu opsi panggilan singkat, maka setelah waktu t ':

Nilai portofolio jika terjadi pergerakan = s * X * u - P _up

Nilai portofolio jika terjadi pergerakan turun = s * X * d - P _dn

Untuk valuasi yang serupa pada kedua kasus pergerakan harga,

=> s * X * u - P < up _{= s * X * d - P} dn _{=> s = (P}

sampai _{- P} dn _{) / (X * (ud )) = no. dari saham yang akan dibeli untuk portofolio bebas risiko} Nilai portofolio masa depan pada akhir tahun t akan

Jika terjadi pergerakan bergerak = s * X * u - P

naik _{= (P} sampai _{- P} dn _{) / (X (ud)) * X * u - P} sampai _{Nilai hari ini di atas dapat diperoleh dengan potongan harga Ini dengan tingkat pengembalian bebas risiko:}

Ini seharusnya sesuai dengan kepemilikan portofolio saham 'pada harga X, dan nilai panggilan singkat' c 'i. e. Penahanan hari ini (s * X - c) harus sama dengan di atas. Pemecahan untuk c akhirnya memberi c sebagai:

JIKA KITA MENYATAKAN PREMI PANGGILAN HARUS MENAMBAHKAN PORTOFOLIO TIDAK SUBTRAKSI.

Cara lain untuk menulis persamaan di atas adalah dengan menata ulangnya sebagai berikut:

Mengambil q as

lalu di atas persamaan menjadi

Mempersiapkan kembali persamaan dalam hal "q" telah menawarkan perspektif baru.

"q" sekarang dapat diartikan sebagai probabilitas pergerakan ke atas yang mendasari (sebagai "q" dikaitkan dengan P

sampai _{dan "1-q" dikaitkan dengan P} dn _{). Secara keseluruhan, persamaan di atas mewakili harga opsi hari ini i. e. nilai diskon dari hasilnya pada saat kadaluwarsa.} Bagaimana probabilitas ini "q" berbeda dari probabilitas pergerakan naik atau turun dari yang mendasarinya?

Nilai harga saham pada saat t = q * X * u + (1-q) * X * d

Dengan mensubstitusikan nilai q dan penataan ulang, harga saham pada waktu t mencapai

i . e. Dalam dunia dua negara yang diasumsikan ini, harga saham naik dengan tingkat pengembalian bebas risiko, i. e. persis seperti aset bebas risiko dan karenanya tetap bebas dari risiko apapun.Semua investor acuh tak acuh terhadap risiko berdasarkan model ini, dan ini merupakan model risiko netral.

Probabilitas "q" dan "(1-q)" dikenal sebagai probabilitas risiko netral dan metode valuasi dikenal sebagai model penilaian netral risiko.

Contoh di atas memiliki satu persyaratan penting - struktur pembayaran di masa depan diperlukan dengan presisi (level $ 110 dan $ 90). Dalam kehidupan nyata, kejelasan tentang tingkat harga berbasis langkah tidak mungkin; Sebaliknya harga bergerak secara acak dan mungkin menetap pada berbagai tingkatan.

Mari kita memperluas contoh lebih lanjut. Asumsikan bahwa dua langkah tingkat harga mungkin dilakukan. Kita mengetahui hasil akhir pembayaran kedua dan kita perlu memberi nilai pilihan hari ini (yaitu pada langkah awal)

Bekerja mundur, penilaian langkah pertama antara (pada t = 1) dapat dilakukan dengan menggunakan hasil akhir pada langkah kedua (t = 2), dan kemudian menggunakan perhitungan langkah pertama yang dihitung ini (t = 1), penilaian hari ini (t = 0) dapat dicapai dengan menggunakan perhitungan di atas.

Untuk mendapatkan opsi harga no. 2, hadiah pada 4 dan 5 digunakan. Untuk mendapatkan harga untuk no. 3, hadiah pada 5 dan 6 digunakan. Akhirnya, dihitung hasil pada 2 dan 3 digunakan untuk mendapatkan harga di no. 1.

Harap perhatikan bahwa contoh kita mengasumsikan faktor yang sama untuk pergerakan naik dan turun pada kedua langkah - u (dan d) diterapkan secara majemuk.

Berikut adalah contoh kerja dengan perhitungan:

Asumsikan opsi put dengan strike price $ 110 saat ini diperdagangkan pada $ 100 dan akan berakhir dalam satu tahun. Tingkat bebas risiko tahunan adalah 5%. Harga diperkirakan akan meningkat 20% dan turun 15% setiap enam bulan.

Mari kembangkan masalahnya:

Di sini, u = 1. 2 dan d = 0. 85, X = 100, t = 0. 5

dengan menggunakan rumus turunan di atas

, kita mendapatkan q = 0. 35802832

nilai opsi put pada titik 2,

Pada kondisi P

upup _{, yang mendasari akan = 100 * 1. 2 * 1. 2 = $ 144 menyebabkan P} upup _{= nol} Pada kondisi P

updn _{, yang mendasari akan menjadi = 100 * 1. 2 * 0. 85 = $ 102 yang mengarah ke P} updn _{= $ 8} Pada kondisi P

dndn _{, akan menjadi = 100 * 0. 85 * 0. 85 = $ 72. 25 mengarah ke P} dndn _{= $ 37. 75} p

2 _{= 0. 975309912 * (0. 35802832 * 0 + (1-0 35802832) * 8) = 5. 008970741} Demikian pula, p

3 > = 0. 975309912 * (0. 35802832 * 8 + (1-0 35802832) * 37. 75) = 26. 42958924 _{Maka nilai opsi put, p} 1

= 0. 975309912 * (0.35802832 * 5. 008970741+ (1-0 35802832) * 26. 42958924) = _{$ 18. 29.} Demikian pula, model binomial memungkinkan seseorang untuk mematahkan seluruh durasi pilihan ke beberapa langkah / tingkatan yang disempurnakan. Dengan menggunakan program komputer atau spreadsheet, seseorang dapat bekerja mundur satu langkah setiap kalinya, untuk mendapatkan nilai opsi yang diinginkan saat ini. Mari kita simpulkan satu contoh lagi yang melibatkan tiga langkah untuk penilaian opsi binomial:

Asumsikan opsi put option tipe Eropa, memiliki 9 bulan hingga kadaluarsa dengan strike price sebesar $ 12 dan harga underlying saat ini sebesar $ 10. Asumsikan tingkat bebas risiko 5% untuk semua periode. Asumsikan setiap 3 bulan, harga dasarnya bisa bergerak 20% ke atas atau ke bawah, memberi kita u = 1. 2, d = 0. 8, t = 0. 25 dan 3 pohon binomial.

Angka-angka merah menunjukkan harga yang mendasari, sedangkan yang berwarna biru menunjukkan hasil pemberian opsi.

Risiko probabilitas netral q dihitung menjadi 0. 531446.

Dengan menggunakan nilai q dan nilai hasil di atas pada t = 9 bulan, nilai yang sesuai pada t = 6 bulan dihitung sebagai berikut:

Selanjutnya, gunakan ini nilai yang dihitung pada t = 6, nilai pada t = 3 dan kemudian pada t = 0 adalah:

memberikan nilai opsi put pada hari ini sebagai $ 2. 18, yang cukup dekat dengan yang dihitung dengan menggunakan model Black-Scholes ($ 2.3)

Garis Dasar

Meskipun penggunaan program komputer dapat membuat banyak perhitungan intensif ini mudah, prediksi harga masa depan tetap pembatasan utama model binomial untuk penentuan harga opsi. Selang waktu yang lebih baik, semakin sulitnya untuk secara tepat memprediksi hasilnya pada akhir setiap periode. Namun, fleksibilitas untuk menggabungkan perubahan seperti yang diharapkan pada periode waktu yang berbeda adalah satu plus tambahan, yang membuatnya sesuai untuk menentukan harga opsi Amerika, termasuk penilaian latihan awal. Nilai yang dihitung dengan menggunakan model binomial sangat sesuai dengan yang dihitung dari model umum lainnya seperti Black-Scholes, yang mengindikasikan kegunaan dan keakuratan model binomial untuk penentuan harga opsi. Model penetapan harga binomial dapat dikembangkan sesuai dengan preferensi trader dan berfungsi sebagai alternatif untuk Black-Scholes.